Aulas Adicionais – Plano horizontal (Sem atrito)

No caso de um móvel deslizando em um plano horizontal, pode-se considerar, basicamente, duas condições: (1) ideais (livres de atrito) ou (2) reais (considerando o atrito e/ou resistência do ar). Vejamos a seguir a análise desses fenômenos. Primeiramente, vamos considerar um plano horizontal sem atrito (1).

Fgura 01

O móvel acima, se desloca da direita para a esquerda, sob a ação da gravidade $\vec{g}$ , velocidade $\vec{v}$ e sobre uma superfície livre de atritos. Faz-se necessário, para estudo do fenômeno, adotar algumas etapas triviais: (i) identificar as forças atuantes o sistema (superfície – móvel), (ii) traçar os eixos imaginários do plano cartesiano $x \times y$ e posteriormente, (iii) determinar a força resultante atuante no sistema.

(i) Identificando as forças atuantes:

Tendo em vista que o móvel se encontra sob o efeito do campo gravitacional $\vec{g}$ , a força peso $\vec{P}$ passa a atuar no centro de massa do móvel e é descrita pela segunda Lei de Newton:

$\vec{P}=m \times \vec{g}$ $(1)$

Sua direção é vertical, seu sentido é para baixo, onde seu par ação e reação é no centro da terra de acordo com a 3ª Lei de Newton, como é mostrado na figura 02:

Figura 02

Devido o bloco estar apoiado e “forçando” o solo para baixo com uma força de contato de mesma direção, módulo e sentido da força peso ( $\vec{P}$ ), o solo “responde” à esse apoio, também fundamentado pela 3ª Lei de Newton. Essa força é chamada de força normal ( $\vec{N}$ ), como pode ser observado na figura 03.

Figura 03

A força normal ( $\vec{N}$ ) é sempre perpendicular com a superfície de contato, ou seja, possui um ângulo de 90° com a superfície.

Note que, a força normal ( $\vec{N}$ ), apesar de ter o mesmo módulo, direção e sentido contrário da força peso ( $\vec{P}$ ), ela, de acordo com a 3ª Lei de Newton, não faz par de ação e reação com a força peso ( $\vec{P}$ ), pelo motivo já mencionado no quarto parágrafo dessa aula complementar.

Como o sistema abordado nesse item é ideal (livre de atritos e sem a presença de forças de resistência do ar), tem-se na figura 03 todas as forças atuantes já expressas. Próxima etapa:

(ii) Traçando os eixos imaginários do plano cartesiano $x \times y$

Essa é a etapa mais fácil! Devemos traçar dois eixos imaginário (formando um plano cartesiano) de forma que suas direções $x \times y$ coincidam com o maior número de forças atuantes no sistema. Por exemplo: se escolhermos a posição do eixo paralela com a superfície deslizante do sistema, todas as forças atuantes coincidirão com o eixo, conforme mostra a figura 04. Melhor do que imaginávamos, não é?

Figura 04

Agora que identificamos as forças atuantes e traçamos os eixos imaginários, podemos determinar as forças resultantes:

(iii) Determinação das forças resultantes

Essa etapa é um pouco mais difícil que a anterior, mas não nesse caso, pois todas as forças estão superpostas nos eixos $x \times y$ . Podemos subdividir essa etapa, de forma didática, da seguinte forma:

a) Analisar o tipo de movimento realizado pelo móvel!

Para tal, precisamos fazer a seguinte pergunta: o movimento se dá em que direção? No eixo $x$ ou no eixo $y$ ? De acordo com o enunciado do fenômeno no segundo parágrafo, o móvel não realiza movimento no eixo $y$ , portanto neste eixo, o móvel se encontra em repouso, apesar de observarmos ele em movimento somente no eixo $x$ . Isso significa que as forças atuantes no eixo $y$ estão em equilíbrio (“se anulam”) e como no eixo $x$ só existe a força ( $\vec{F}$ ), sem a presença de qualquer outra força em sentido contrário anulando-a, então $\vec{F}$ não está em equilíbrio. Portanto $\vec{F}$ é a única força responsável pelo movimento do móvel da esquerda para a direita. Difícil? Nem tanto. É na verdade uma brincadeira de “cabo de guerra”. Usando a linguagem matemática vai ficar mais claro…

b) Somar as forças atuantes em cada eixo!

Primeiro, é prudente começar pelo eixo onde as forças se equilibram. Qual? Isso mesmo: o eixo $y$ .

Quais são as forças atuantes no eixo $y$ ? Bem fácil: força peso ( $\vec{P}$ ) e força normal ( $\vec{N}$ ), não é mesmo? Agora devemos somá-las, pois queremos encontrar a força resultante ( $\vec{F}_R$ ) no eixo $y$ . Sem esquecer que em alguns livros didáticos a força resultante também é chamada de força soma ( $\vec{F}_S$ ). Como podemos escrever isso matematicamente? A operação soma das forças atuantes no eixo $y$ é dada pela equação abaixo:

$\vec{F}_{R_{y}}=\sum\vec{F_{y}}=\vec{P}+\vec{N}$ $(2)$ , onde:

$\vec{F}_{R_{y}}$ é a força resultante no eixo $y$ ;
$\vec{F_{y}}$ são as forças atuantes no eixo $y$ que são $\vec{P}$ e $\vec{N}$ ,
e Sigma $(\sum)$ na verdade é uma letra grega maiúscula que expressa a operação de soma.

Como se sabe, o somatório das forças no eixo $y$ é zero, tendo em vista que o móvel só está em movimento no eixo $x$ (conceito descrito detalhadamente no item iii, subdivisão a ). Então, a equação $(2)$ fica da seguinte forma:

$\vec{F}_{R_{y}}=\sum\vec{F_{y}}=\vec{P}+\vec{N}=\vec{0}$ $(3)$ , onde:

A terminologia $\vec{\textit{0}}$ representa, em linguagem mais acessível a “anulação de um vetor”. Matematicamente é chamada de vetor nulo. Continuando o cálculo, tem-se:

$\vec{P}+\vec{N}=\vec{0}$ $(4)$

Isolando $\vec{P}$ , tem-se:

$\vec{P}= - \vec{N}$ $(5)$

Percebam que $\vec{N}$ possui sinal negativo em relação a $\vec{P}$ . Isso significa fisicamente que as forças possuem sinais contrários. Mas, como isso pode ser tratado matematicamente?

No plano cartesiano de eixos $x \times y$ é comum adotar sinais com base em sua origem (o), podendo ser observado na figura 05:

Figura 05

O eixo imaginário $x$ à direita, partindo de sua origem (O), corresponde à reta de números com sinais positivos, assim como o eixo $y$ na parte superior.

Já o eixo imaginário $y$ à esquerda, partindo da mesma origem (O), corresponde à reta de números com sinais negativos, assim como o eixo $x$ . Qual a importância disso? Todos os vetores sobre os eixos imaginários, adotarão o sentido indicado. Por exempo: a força $\vec{P}$ será negativa, pois seu sentido, no eixo $x$ é para baixo. Já a força $\vec{N}$ será positiva, pois seu sentido, no eixo $y$ é para cima. Então podemos reescrever a equação (4) como:

$-\vec{P}+(+\vec{N})=\vec{0}$ $(6)$

$-\vec{P}+\vec{N}=\vec{0}$ $(7)$

Caso queira-se isolar a força $\vec{P}$ na equação $(7)$ , obtêm-se

$-\vec{P}=-\vec{N}$ $(8)$

Múltiplicando ambos os lados por $(-1)$ , têm-se

$\vec{\mid P\mid}=\vec{\mid N\mid}$ $(9)$

Os vetores força somente são iguais somente em módulos e direção. Seus sentidos são opostos, por isso que deve ser alterada a forma de escrever equação $(9)$ . Com isso conclui o somatório das forças atuantes no eixo $y$ e consequentemente obtêm-se essa relação de igualdade. A próxima subdivisão (didaticamente falando) é determinarmos o somatório das forças no eixo $x$ .

Como mencionado no item (a), a única força responsável pelo movimento é $\vec{F}$ , portanto a operação soma das forças atuantes no eixo $x$ é dada pela equação abaixo:

$\vec{F}_{R_{x}}=\sum\vec{F_{x}}=m \times \vec{a}$ $(10)$ , onde:

$\vec{F}_{R_{x}}$ é a força resultante no eixo $x$ ;
$\vec{F_{x}}$ são as forças atuantes no eixo $x$ . (neste caso, somente a força $\vec{F}$ ),
e $\vec{a}$ é a aceleração causada no móvel pela atuação da força $\vec{F}$ .

Então, rearranjando a equação, tem-se:

$\vec{F}=m \times \vec{a}$ $(11)$

Como a força $\vec{F}$ no eixo $x$ possui o sentido para a direita, trata-se de uma força de sinal positivo.

Nessa análise, encerra-se os conteúdos relacionados ao fenômeno de deslizamento de um móvel em uma superfície horizontal livre de atritos. Mas… E quando o atrito é considerado? A análise do fenômeno poderá ser vista nas Aulas adicionais – Plano horizontal (Com atrito).

Bons estudos!

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Aulas Adicionais – Plano horizontal (Sem atrito)

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