Exercício 03 (Revisão) – Trabalho mecânico com força dissipativa desconhecida

Olá queridos. Estamos aqui com um terceiro exercício de revisão sobre o mesmo tema de trabalho mecânico e energia. Esse será um exemplo simples de um corpo sujeito à uma força dissipativa desconhecida (na verdade, sabemos que é uma força de atrito, só fingimos não saber para dar aquele “frisson”) onde teremos que calcular o trabalho realizado, com poucos dados, mas sabendo da variação de sua velocidade.

Primeiramente precisamos relembrar que um sistema conservativo é aquele que a energia mecânica se conserva. Ou seja, a energia mecânica antes (inicial) do evento é igual a energia macênica depois (final), portanto não há forças dissipativas, como resistência do ar, atrito de outra natureza, etc. De forma que, matematicamente, podemos expressar como:

Vamos ao exercício:

Questão 03: Qual o trabalho realizado por um corpo de massa de 5 kg que inicia um percurso com velocidade de 20 m/s até parar?

Tendo em vista que neste exercício o corpo inicia com uma velocidade maior que zero e ao final do evento, sua velocidade é igual a zero, parte-se do pressuposto que somente a presença de forças externas ao sistema foram capazes de dissipar sua energia a ponto de pará-lo. No caso, a energia pertencente ao sistema é a energia cinética ().

Quais são os dados fornecidos pelo exercício?

• (Massa do bloco);
• (Velocidade inicial);
• (Velocidade final – O bloco pára no ponto B);
• (O trabalho realizado é o que se pede);

Sabemos que a equação do trabalho é:

e que

, então

Substituindo os valores dados na questão, temos:

Viram? Não é muito difícil resolver a questão quando a interpretamos bem e depois organizamos o que nos é dado por ela… Depois disso, é só matemática.

Qualquer dúvida, é só falar com a gente.

Exercício 02 (Revisão)-Trabalho mecânico com força inclinada ao deslocamento

Dando prosseguimento aos exercícios de revisão, temos agora mais um caso elementar de trabalho mecânico. No entanto, a força responsável  pelo movimento, está inclinada em relação ao deslocamento do móvel, como podemos ver abaixo.

2ª Questão: Uma força de intensidade de 15 N (Newtons) é aplicada a um bloco, formando um ângulo de 60º com o vetor deslocamento, que tem valor absoluto igual a 5 m (metros). Qual o trabalho realizado por essa força?

Figura 01

Neste caso, comparado à 1ª questão, o valor a força já é dado, sem necessidade de ser calculado.

Anotando os dados fornecido pela questão, temos:

• (Força aplicada no bloco);
• (Distância percorrida pelo bloco);
• (Inclinação entre o vetor força e a direção do deslocamento)

Porém, como havíamos falado nas Aulas adicionais – Trabalho Mecânico, o trabalho de uma força é realizado sempre  na mesma direção (até podendo ser em sentidos opostos) do movimento. Sendo assim, na figura 01, não é a totalidade da força que realiza trabalho, mas sim uma parcela dela. Parcela esta (projeção) que coincide com a mesma direção do movimento.

Paral o cálculo do trabalho quando a força não é paralela ao movimento, usamos a seguinte equação:

Substituindo os valores, temos:

Portanto, o trabalho realizado pela força  é 37,5 J

É um exercício bem simples, não é mesmo? Mas o caldo pode engrossar. Estamos só começando…

Qualquer dúvida, nos dê o prazer de expor nos comentários para que possamos debater.

Aulas adicionais – Trabalho Mecânico

O conceito físico de trabalho é um pouco abstrato. A principal causa da dificuldade em seu entendimento é devido ao conhecimento prévio que trazemos do nosso quotidiano. Mas, porque não se utilizar desse mesmo conhecimento prévio e fazer dele um facilitador para seu  aprendizado? Vejamos.

Imaginemos uma situação hipotética (1): uma pessoa precisa deslocar uma cadeira com rodinhas do quarto até a sala, porém não dispõe de uma “força física” suficiente para levantá-la, mas pode ir deslizando essa cadeira em linha reta até a posição desejada.

Essa pessoa realizou trabalho? Resposta: sim!

Vamos para outro caso hipotético (2): digamos que essa pessoa, depois da ação desejada, pediu auxílio para seu irmão, que dispõe de maior “força física” para, ao invés de deslizar a cadeira, erguê-la até uma altura específica e mantê-la erguida, de forma que ele possa varrer o chão que a cadeira antes ocupava.

E agora? Enquanto a cadeira estava lavantada, o irmão dessa pessoa realizou trabalho? Resposta: não! Complicado? Parece um paradoxo, não é mesmo?

A verdade é que trazemos o conceito prévio de esforço e não de trabalho.

A noção que temos é do esforço energético muscular (bioquímico) que utilizamos para manter ou modificar a posição de um objeto. E em ambos os casos hipotéticos, esse esforço ocorreu. Porém a Física trata esses fenômenos de forma menos complexa que a bioquímica devido admitir que quem realiza o trabalho não é o “operador” e sim a força, independente de sua  natureza seja ela gravitacional, elástica ou outra força desconhecida.

No entanto, não é somente a presença de forças em um sistema que faz dela a realizadora de um trabalho mecânico. É preciso que essa força seja capaz de realizar movimento.

Podemos dizer então que o trabalho mecânico é diretamente proporcional à força aplicada e o deslocamento, o que significa dizer que quanto maior a distância percorrida por um móvel sob a atuação de uma força, maior será o trabalho realizado por essa força. Da mesma forma, quanto maior a força aplicada a um móvel, maior a potencialidade dessa força realizar um trabalho elevado, desde que a massa desse corpo não seja tão grande (não podemos esquecer do conceito de massa inercial do princípio fundamental da dinâmica)

Traduzindo para linguagem matemática, podemos representar o fenômeno exposto pelo seguinte modelo:

• Onde é o trabalho realizado por uma força ;
• é a força aplicada ao móvel e
• é a distância percorrida pelo móvel sob a atuação da força

Notem que estamos adotando somente os valores de módulo, ao invés de frisar as características vetoriais do fenômeno.

Existem outras características que pode basear o estudo sobre o trabalho mecânico:

• Este fenômeno ocorre em movimentos uniformemente variados ou movimentos variados ( Onde a aceleração não é constante;
• Consequentemente, um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) não está sujeito à uma força, portanto, não faz sentindo calcular o trabalho mecânico;

Essas são características e relações de causa e efeito herdados do Princípio Fundamental da Dinâmica… Que tal dar aquela olhadinha para lembrar desses detalhes?

Existem outras implicações do trabalho em um corpo que nos ajudarão a fecharmos o quebra cabeça deste conceito. A relação da força mecânica e a variação de energia do corpo que a ela está submetido é um exemplo. Assim como a compreensão que nem toda força é constante… Ou seja, ainda tem muita história para contar!

Enquanto vocês aguardam o próximo post com essas considerações é fortemente recomendável fazer um café para dar uma olhada nos estudos de caso do trabalho mecânico na ausência de atrito e na presença de atrito.

O que acharam? Ficou mais claro esse conceito? Deem um retorno para a gente, quem sabe não podemos melhorar?

Estudo de caso – Trabalho de uma força constante (Com atrito)

Questão 02: Dando prosseguimento aos estudos de caso relacionados ao trabalho de uma força constante, temos o bloco abaixo (Figura 01) que desliza em uma superfície real, da esquerda para a direita, sob atuação de uma força constante que se encontra com uma inclinação com a superfície deslizante. Determine:

Figura 01

a) Qual a relação trigonométrica entre a projeção em “x” da força ( ), o ângul e a força ? Explique:

Resposta: A lógica é a mesma presente no Estudo de caso – Trabalho de uma força constante (Sem Atrito)

b) Qual o valor do módulo de ?

Resposta: O mesmo do Estudo de caso – Trabalho de uma força constante (Sem Atrito), tendo em vista que a relação trigonométrica é a mesma.

c) Determine o valor do trabalho realizado pela força:

Resposta: Diferentemente do Estudo de caso anterior, a superficie é real, portanto com atrito. Então, no eixo imaginário “x” não possuimos somente a projeção da força , mas também a força atrito. De forma que a resultante das forças no eixo “x” é:

Como já sabemos que:

Então o somatório das forças atuantes no eixo “x” é:

Pode ser que surja a dúvida do motivo pelo qual subtraimos de . Isso se deve pois o movimento ocorre da esquerda para a direita. Então, a força resultante que move o bloco também deve possuir o mesmo sentido do movimento.

Uma vez calculada a força resultante no eixo “x”, já podemos calcular o trabalho realizado pela força. Substituindo a força resultante na equação abaixo:

, temos:

Para o maior entendimento das forças atuantes em um bloco que desliza em uma superfície com atrito, consulte a aula adicional: Plano Horizontal (Com atrito)

Estudo de Caso – Trabalho de uma força constante (Sem atrito)

Questão 01: Apresentamos na figura 01, um estudo de caso que constiste em um bloco que desliza em uma superfície ideal (livre de atritos), da esquerda para a direita, sob a ação de uma força constante, que se encontra com uma inclinação de ângulo com a superfície deslizante. Determine:

Figura 01

a) A relação trigonométrica entre a projeção no eixo imaginário da força (), o ângulo [/latex]\alpha[/latex]  e a força ]\vec{F}[/latex] . Explique.

Resposta: Segundo a metodologia desenvolvida na publicação sobre o plano horizontal sem atrito (Figura 02),

Figura 02

podemos observar que a força , sua projeção no eixo imaginário “x” () e o ângulo (, forma um triângulo retângulo imaginário, onde pode ser associado ao cateto adjacente e à hipotenusa. Sendo assim, a relação trigonométrica que poderá ser utilizada é o cosseno. Como pode ser visto na figura 03.

Figura 03

b) Qual o valor do módulo de () ?

Resposta: Com base na resposta da alternativa a), temos:

, então:

, donde se conclui que

c) Determine o valor do trabalho realizado pela força.

Resposta: Para calcular o valor do trabalho, precisamos determinar qual o quais as forças são responsáveis pelo movimento exposto. Para isso precisamos lembrar em qual eixo o movimento ocorre e quais são as forças atuantes nesse eixo.

O eixo em que ocorre o movimento é o eixo imaginário “x”. A força atuante no eixo “x” é somente a componente da força . Como a equação para o cálculo do trabalho é:

Como no item anterior já calculamos , devemos substituir o valor de  seu módulo na equação.

, então:

Correção dos trabalhos (T2-A1-2Bim)

Boa tarde, queridos!

Já está pronta a correção do segundo trabalho complementar à prova A1 (turma 902) do segundo bimestre de vocês. A nota final dos trabalhos serão entregues pessoalmente para vocês no dia 16/06/2016.

O arquivo está zipado e com senha. A senha foi repassada para alguns colegas de classe. Eles já foram orientados a compartilhar somente entre vocês. O arquivo Zip poderá ser aberto com o descompactador IZArc, WinRAR, 7ZIP ou outro que desejarem. Os trabalhos estão em formato .pdf e poderão ser abertos com os visualizadores Adobe Acrobat, STDU View, ou outro.

É importante que observem os comentários nos trabalhos. Estes, além de esclarecerem alguns equívocos, também é material de estudo, já que trazem conceitos teóricos e cálculos que irão auxiliá-los para a prova A1.

Em alguns trabalhos, eu sugeri que olhassem os comentários do trabalho-17, pois lá coloquei bastante cálculo referente à Questão 4.  Não fiquem presos aos seus respetivos trabalhos! É extremamente recomendável que vocês olhem todos os trabalhos de seus colegas, pois eles podem ter acertado algo que vocês se equivocaram.

Sugestão: Façam um resumo das questões que vocês confundiram. Para isso, usem os comentários que fiz, se utilizem de pesquisas e principalmente o nosso caderno para nortear o estudo de vocês. Foquem bastante nos conceitos, vão tranquilos para a prova e façam dela um grande aprendizado.

Por fim, boa sorte a todos e que Deus os auxiliem. Aquele abraço!

Baixem aqui o arquivo Zip dos trabalhos

Aulas Adicionais – Inércia

Observando um fenômeno real, como por exemplo um carro em movimento, sabemos que ele só permanecerá em movimento devido a força propulsora de seu motor. Se por algum motivo o motor em questão deixa de impulsionar o carro (na falta de combustível, por exemplo) ele andará alguns metros, porém aos poucos, sua velocidade irá reduzindo até parar completamente. Isso ocorre devido a vários fatores: resistência do ar, atrito dos pneus com o asfalto, etc.

Uma vez o carro parado (em repouso) , ele tende a continuar parado, desde que não sofra a ação de uma força externa. Por si só, ele não é capaz de sair dessa condição. No entanto, entender esse conceito somente pela inexistência de movimento, pode nos levar ao erro, pois um móvel inerte não é somente um móvel em repouso.

Para facilitar o entendimento, devemos adotar uma situação ideal: imagine um móvel em movimento, deslizando por uma superfície livre de atritos, onde a força que gerou esse movimento (propulsão mecânica, impacto com outro corpo, etc) seja irrelevante. à luz do conceito de inércia, esse móvel possui a tendência de continuar em seu movimento indefinidamente, desde que não sofra influência de uma força externa. Seja qual for a natureza dessa força.

Tanto no primeiro caso (carro em repouso continuando em repouso) quanto no segundo caso (móvel que continua em movimento indefinidamente) são exemplos de corpos em inércia. E isso se dá tanto pela inexistência de forças atuantes responsáveis pelo movimento, quanto pela presença de forças, desde que o somatório das mesmas seja zero.

Analisemos superficialmente estes casos: um carro totalmente em repouso, de forma geral, só possui duas forças atuando em equilíbrio: força peso e força normal , não existindo nenhuma outra força capaz de movimentá-lo na horizontal. Já no segundo caso, um móvel em movimento indefinido, também possui as mesmas forças em equilíbrio e nenhuma outra força responsável pelo movimento no instante que estamos observando o fenômeno.

O que é difícil entender é que sempre associamos movimento à força de forma intuitiva. Na verdade, confundimos movimento de um móvel com um móvel em movimento acelerado, unicamente. Mas é possível existir um movimento que não seja acelerado. Ainda sim é movimento. Este movimento é chamado de movimento uniforme, onde a aceleração é igual a zero e sua velocidade é constante. A força só gera aceleração ou deseceleração, nada mais. Quando cessamos a aplicação de uma força em um móvel que desliza sobre uma superfície livre de atrito, ele deixa de se movimentar de forma acelerada e passa a se movimentar com velocidade constante e só vai parar se aplicarmos uma outra força, que reduzirá sua velocidade até entrar em repouso.

A aceleração de um movimento é descrita pela segunda Lei de Newton que é resumida da seguinte forma:

Ou seja, toda força gera aceleração. Em um móvel com velocidade constante, sua aceleração é igual a zero, portanto:

Ora, se a aceleração é zero em um movimento uniforme, isso significa que:

Portanto o somatório das forças atuantes em um móvel com movimento uniforme é zero:

E essa é a característica do fenômeno da inércia. Para identificarmos se um móvel está em inércia, basta sabermos se sua aceleração é igua a zero ou se sua velocidade é constante, em uma superfície livre de atritos. Consequentemente, o somatório das forças atuantes no móvel tem que ser zero. Com isso, aprendemos que um corpo em estado de inércia possui as seguintes características:

• 
• 
• Somatório das forças atuantes responsáveis por um possível movimento, igual a zero. ()

Nessas condições, um corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou movimento, desde que não haja uma força externa para sair dessa condição. Bem-vindos  à 1ª Lei de Newton.

Quando uma força resultante que atua sobre um corpo é zero, um corpo em repouso, continua em repouso; e um corpo em movimento continua se movendo em movimento retilíneo e uniforme (MRU)

Bröckelmann, Et. Al. Observatório de Ciências, 1ª Edição, São Paulo: Editora Moderna, 2011.

Aulas Adicionais – Plano horizontal (Sem atrito)

No caso de um móvel deslizando em um plano horizontal,  pode-se considerar, basicamente, duas condições: (1) ideais (livres de atrito) ou (2) reais (considerando o atrito e/ou resistência do ar). Vejamos a seguir a análise desses fenômenos. Primeiramente, vamos considerar um plano horizontal sem atrito (1).

 

Fgura 01

O móvel acima, se desloca da direita para a esquerda, sob a ação da gravidade , velocidade  e sobre uma superfície livre de atritos. Faz-se necessário, para estudo do fenômeno, adotar algumas etapas triviais: (i) identificar as forças atuantes o sistema (superfície – móvel), (ii) traçar os eixos imaginários do plano cartesiano e posteriormente, (iii) determinar a força resultante atuante no sistema.

(i) Identificando as forças atuantes:

 Tendo em vista que o móvel se encontra sob o efeito do campo gravitacional , a força peso passa a atuar no centro de massa do  móvel e é descrita pela segunda Lei de Newton:

              

Sua direção é vertical, seu sentido é para baixo, onde seu par ação e reação é no centro da terra de acordo com a 3ª Lei de Newton, como é mostrado na figura 02:

Figura 02

 

Devido o bloco estar apoiado e “forçando” o solo para baixo com uma força de contato de mesma direção, módulo e sentido da força peso (), o solo “responde” à esse apoio, também fundamentado pela 3ª Lei de Newton. Essa força é chamada de força normal (), como pode ser observado na figura 03.

Figura 03

A força normal () é sempre perpendicular com a superfície de contato, ou seja, possui um ângulo de 90° com a superfície.

Note que, a força normal (), apesar de ter o mesmo módulo, direção e sentido contrário da força peso (), ela, de acordo com a 3ª Lei de Newton, não faz par de ação e reação com a força peso (), pelo motivo já mencionado no quarto parágrafo dessa aula complementar.

Como o sistema abordado nesse item é ideal (livre de atritos e sem a presença de forças de resistência do ar), tem-se na figura 03 todas as forças atuantes já expressas. Próxima etapa:

(ii) Traçando os eixos imaginários do plano cartesiano

Essa é a etapa mais fácil! Devemos traçar dois eixos imaginário (formando um plano cartesiano) de forma que suas direções  coincidam com o maior número de forças atuantes no sistema. Por exemplo: se escolhermos a posição do eixo paralela com a superfície deslizante do sistema, todas as forças atuantes coincidirão com o eixo, conforme mostra a figura 04. Melhor do que imaginávamos, não é?

Figura 04

Agora que identificamos as forças atuantes e traçamos os eixos imaginários, podemos  determinar as forças resultantes:

(iii) Determinação das forças resultantes

Essa etapa é um pouco mais difícil que a anterior, mas não nesse caso, pois todas as forças estão superpostas nos eixos . Podemos subdividir essa etapa, de forma didática, da seguinte forma:

a) Analisar o tipo de movimento realizado pelo móvel!

Para tal, precisamos fazer a seguinte pergunta: o movimento se dá em que direção? No eixo ou no eixo ? De acordo com o enunciado do fenômeno no segundo parágrafo, o móvel não realiza movimento no eixo , portanto neste eixo, o móvel se encontra em repouso, apesar de observarmos ele em movimento somente no eixo . Isso significa que as forças atuantes no eixo estão em equilíbrio (“se anulam”) e como no eixo só existe a força (), sem a presença de qualquer outra força em sentido contrário anulando-a, então não está em equilíbrio. Portanto é a única força responsável pelo movimento do móvel da esquerda para a direita. Difícil? Nem tanto. É na verdade uma brincadeira de “cabo de guerra”. Usando a linguagem matemática vai ficar mais claro…

b) Somar as forças atuantes em cada eixo!

Primeiro, é prudente começar pelo eixo onde as forças se equilibram. Qual? Isso mesmo: o eixo .

Quais são as forças atuantes no eixo ? Bem fácil: força peso () e força normal (), não é mesmo? Agora devemos somá-las, pois queremos encontrar a força resultante () no eixo . Sem esquecer que em alguns livros didáticos a força resultante também é chamada de força soma (). Como podemos escrever isso matematicamente? A operação soma das forças atuantes no eixo é dada pela equação abaixo:

    , onde:

• é a força resultante no eixo ;
• são as forças atuantes no eixo que são  e ,
• e Sigma na verdade é uma letra grega maiúscula que expressa a operação de soma.

Como se sabe, o somatório das forças no eixo é zero, tendo em vista que o móvel só está em movimento no eixo (conceito descrito detalhadamente no item iii, subdivisão a ). Então, a equação fica da seguinte forma:

    , onde:

A terminologia representa, em linguagem mais acessível a “anulação de um vetor”. Matematicamente é chamada de vetor nulo. Continuando o cálculo, tem-se:

               

Isolando , tem-se:

                

Percebam que possui sinal negativo em relação a . Isso significa fisicamente que as forças possuem sinais contrários. Mas, como isso pode ser tratado matematicamente?

No plano cartesiano de eixos  é comum adotar sinais com base em sua origem (o), podendo ser observado na figura 05:

Figura 05

O eixo imaginário à direita, partindo de sua origem (O), corresponde à reta de números com sinais positivos, assim como o eixo na parte superior.

Já o eixo imaginário à esquerda, partindo da mesma origem (O), corresponde à reta de números com sinais negativos, assim como o eixo . Qual a importância disso? Todos os vetores sobre os eixos imaginários, adotarão o sentido indicado. Por exempo: a força será negativa, pois seu sentido, no eixo é para baixo. Já a força será positiva, pois seu sentido, no eixo é para cima. Então podemos reescrever a equação (4) como:

               

               

Caso queira-se isolar a força na equação , obtêm-se

               

Múltiplicando ambos os lados por , têm-se

            

Os vetores força somente são iguais somente em módulos e direção. Seus sentidos são opostos, por isso que deve ser alterada a forma de escrever equação . Com isso conclui o somatório das forças atuantes no eixo e consequentemente obtêm-se essa relação de igualdade. A próxima subdivisão (didaticamente falando) é determinarmos o somatório das forças no eixo .

Como mencionado no item (a), a única força responsável pelo movimento é , portanto a operação soma das forças atuantes no eixo é dada pela equação abaixo:

    , onde:

• é a força resultante no eixo ;
• são as forças atuantes no eixo . (neste caso, somente a força ),
• e é a aceleração causada no móvel pela atuação da força .

Então, rearranjando a equação, tem-se:

 

Como a força no eixo possui o sentido para a direita, trata-se de uma força de sinal positivo.

Nessa análise, encerra-se os conteúdos relacionados ao fenômeno de deslizamento de um móvel em uma superfície horizontal livre de atritos. Mas… E quando o atrito é considerado? A análise do fenômeno poderá ser vista nas Aulas adicionais – Plano horizontal (Com atrito).

Bons estudos!